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Aventures mathématiques dans les mystérieuses cités d’Amérique précolombienne

Des touristes sur le site mayaUn zéro chez les Mayas, une ‘calculatrice’ chez les Incas, une pierre du soleil chez les Aztèques : les anciennes civilisations d’Amérique du Sud n’ont pas attendu l’arrivée des Espagnols pour s’intéresser à l’arithmétique. Mais quels rôles ont bien pu jouer les mathématiques dans leur quotidien ? J’étais bien décidée à mener ma petite enquête !

 

LES MAYAS (-2000 av JC, XVIe siècle ap JC)

Jungle du Mexique les pieds dans l'eauInstallé en pleine jungle tropicale, au Yucatan dans le sud du Mexique, mais aussi au Guatemala, au Belize, à Honduras et au Salvador, le peuple maya était brillant, particulièrement en astronomie et architecture.

La précision de leurs calculs était époustouflante, et leurs cités où les pyramides poussaient comme des champignons… tout simplement grandioses !

Le masque aux visages du Mexique

Hélas, il reste bien peu de traces du savoir des Mayas. En effet, l’évêque espagnol Diego de Landa arrivé au Yucatan en 1549 a la ferme intention de les convertir à la religion catholique, et brûle tous leurs manuscrits en 1576…

Seuls de rares parchemins échapperont à ce massacre culturel : le codex de Dresde (un traité d’astronomie), le codex Grolier (sans doute un faux) et les codex religieux Tro-Cortesianus conservé à Madrid, et Peresianus à Paris. Je file donc direction la Bibliothèque Nationale de France

Endommagé par les caprices du temps, le codex est une bande d’écorce de ficus imprégnée de résine, pliée en accordéon. Mes yeux suivent les contours sinueux des glyphes, un héritage des Olméques (les voisins des Mayas). Ces étranges symboles représentent des syllabes, des objets ou des actions. La bibliothécaire m’explique que seuls les membres de la haute société savaient écrire. « Un signe évident de progrès car certaines civilisations de l’Amérique précolombienne ne maîtrisaient pas cet art ! » m’assure-t-elle.

Codex de Dresde

Un système vigésimal

La jeune femme insiste pour que je jette un œil à un ouvrage de référence, ‘Relacion de las cosas de Yucatan’ écrit en 1566 par – devinez qui – Diego de Landa lui-même qui répare en partie le mal qu’il a fait… En lisant, je comprends que les Mayas étaient surtout agriculteurs. Certains vivaient de la chasse, la pêche et la cueillette, d’autres produisaient du sel sur le littoral, ou fabriquaient des céramiques et vêtements de luxe.

« Ils transportaient du sel, des étoffes et des esclaves à la terre d’Ulua et à Tabasco, les échangeant contre du cacao et des bagatelles de pierre qui étaient leur monnaie »  écrit le franciscain. Ils faisaient donc un peu de commerce ? Et qui dit commerce dit arithmétique : « c’est une chose merveilleuse de voir avec quelle rapidité ceux qui sont au courant savent compter ! » s’étonne-t-il.

Contrairement à notre système décimal à base 10, eux raisonnaient en base 20, dans un système vigésimal. La commodité d’utiliser ses 10 orteils et ses 10 doigts n’est pas étrangère à ce choix : 10+10=20, le compte est bon ! Pour exprimer les chiffres de 0 à 19, les Mayas utilisaient 20 symboles constitués de points (un point = une unité), de barres (une barre = cinq unités), et d’un coquillage pour représenter le zéro.

Cabosse de cacao sur un cacaoyer (Wikipedia)

L’écriture des chiffres supérieurs à 19 découlait simplement du système points-barres dans un plan vertical. Il y avait autant d’étages que d’ordres d’unités. Il suffisait de rajouter un point au-dessus du chiffre pour ajouter une vingtaine. Ainsi, 20 est représenté par un point au-dessus de la coquille du zéro, 25 (=20+5) est une barre de 5 avec un point de 20, 32 (=20+12) est représenté par le chiffre 12 (2 barres, 2 points) au-dessus duquel on ajoute un point, 53 (=2×20+13) est représenté par 2 points alignés côte à côte au-dessus de 13 (2 barres, 3 points), 91 (=4×20+11) est représenté par 4 points alignés côte à côte au-dessus de 11 (2 barres, 1 point), etc.

Les monuments portent une numérotation verticale constituée de symboles en forme de tête – les glyphes céphalomorphes – et d’unités du calendrier agricole issues du système vigésimal : les tun, katun et baktun qui permettaient aux Mayas de se repérer dans le temps de la même façon que nous le faisons aujourd’hui avec nos années, décennies, siècles, et millénaires. Un mois (uinal) étant constitué de 18 jours (kin), il y avait 360 jours (=18×20) dans l’équivalent d’une ‘année’ (ou tun), 20 ‘ans’ formaient un katun à 7200 jours (=18x20x20), l’équivalent de deux de nos décennies, et 20 katun, un baktun à 144000 jours (=18x20x20x20) l’équivalent d’environ quatre de nos siècles.

Ils utilisaient déjà le zéro !

Ca n’a l’air de rien, mais l’invention du zéro qui exprime le vide est une révolution, et sans lui, un système de numération positionnelle est forcément incomplet. Les premiers a l’avoir évoqué sont les babyloniens, au 3e siècle avant JC… Mais leur zéro était loin d’avoir l’utilisation que nous en avons aujourd’hui, son usage, restreint, n’a d’ailleurs pas eu de suite dans d’autres civilisations.

Juste après eux, les scribes mayas (bien avant les indiens et les arabes) qui devaient jongler avec les durées et les dates ont instauré, non pas un mais deux zéros ! Le premier est un zéro de position, le zéro cardinal, représenté par des glyphes sur les monuments et des coquilles sur les codex. On l’utilise pour exprimer des durées. Le second, le zéro ordinal, toujours accolé à un glyphe de période, indique le rang dans l’écriture des dates du calendrier agricole (ex. 0 Pop correspondrait au 1er janvier). Quant au zéro décimal, que chacun de nous emploie aujourd’hui en arithmétique moderne, lui provient de l’Inde, puis a transité chez les Arabes avant de finir sa course en Occident…

 

LES AZTEQUES (XIIe siècle-XVIe siècle)

Ici, l’ambiance est chaleureuse. Les mariachis font trembler les cœurs au son de leurs guitares et trompettes…. D’accord, je l’avoue, je suis allé mener ma petite enquête sur place. Voilà comment j’ai atterri à Mexico, berceau de la civilisation des Aztèques, ou Mexicas.

Descendants des Chichimèques, une tribu nomade venue du Nord (d’Aztlan, une île de l’océan atlantique plus connue comme le mythe de l’Atlantide, une légende qu’eux-mêmes véhiculaient), les Aztèques ont eu toutes les peines à se sédentariser. Ce n’est qu’en 1325 que, guidés par leur dieu Huitzilopochtli, ils accèdent à la terre promise : une zone marécageuse où un aigle posé sur un cactus dévore un serpent. Tenochtitlan/Mexico était née. Leur territoire ne cessera de s’agrandir jusqu’en 1502.

Au fil de mes promenades dans le centre historique, le Templo Mayor, le Musée National d’Anthropologie et à Teotihuacan (« la ville où les hommes deviennent des dieux » en nahuatl, la langue encore parlée aujourd’hui) qui abrite deux pyramides classées au patrimoine de l’humanité par l’UNESCO, je découvre cette civilisation si proche de celle des mayas.

La malédiction des dieux en armure ?

Masques blonde bruneD’ailleurs, des Mayas, les Aztèques conserveront l’art de l’architecture… et les rites des sacrifices humains. 16000 à 20000 personnes auraient péri ainsi pour l’inauguration du temple de Tenochtitlan et le début du règne d’Ahuitzotl.

Les Aztèques étaient cultivés : les filles apprenaient la religion, les arts ménagers ; les garçons des commerçants, artisans et simples citoyens partaient au telpochcalli pour devenir soldats et les fils de dignitaires étudiaient les mythes, livres sacrés, calendriers divinatoires, l’histoire, et la poésie au calmecac.

Ils étaient orientés vers des professions administratives ou religieuses. C’est justement cette foi qui scellera leur destin en 3 ans à peine. Lorsque Moctezuma II voit débarqué des hommes blancs, barbus, vêtus d’armures, capables de produire des explosions et montés sur de grandes créatures à crinière, il est persuadé que ce sont des dieux. Pour les conquistadores menés par Hernan Cortés, s’emparer de la capitale le 13 août 1521 n’aura pas été bien compliqué…

Visage incrusté dans une tour Maya

Des as des calculs de surface

Reprenant les concepts mayas, les Aztèques raisonnent sur le système vigésimal, la même écriture des chiffres et utilisent le zéro. Les terres ayant une valeur marchande importante, le gouvernement aztèque évaluait les taxes que lui devait le propriétaire.

Experts dans la précision des calculs de surface, leur unité de mesure standard était le quahuitl (environ 2,50 m) établi à l’aide de cordes, et leur unité de surface, le quahuitl carré (équivalent à 6,25 m²) était fiable et invariable contrairement à la caballeria, unité d’aire espagnole dont la valeur était différente d’une province ou colonie espagnole à l’autre peut-être pour des raisons politiques

On retrouve cette précision aztèque dans leurs constructions architecturales parfaites !

La pierre des Soleils ou Cuauhxicalli (‘le réceptacle de l’aigle’), appelée à tort calendrier aztèque, rapporte la légende des 5 Soleils tous représentés par des dieux. Les 4 précédents se sont succédés et achevés par des catastrophes. Le dernier est le nôtre et devrait disparaître un jour dans un gigantesque séisme selon cette même légende.

LES INCAS (XIe siècle-XVIe siècle)

 

Machu_PicchuCuzco au sud du Pérou. Me voici à présent dans la capitale de l’empire inca mais je ne rêve que d’une chose, la Cité Perdue, suspendue entre ciel et terre… le Machu Picchu. On y accède en train ou à pieds. Sac au dos, je me lance dans cette randonnée de 4 jours : ‘le chemin de l’Inca’. D’un côté les Andes, de l’autre la forêt amazonienne, je comprends pourquoi les conquistadores n’ont jamais eu vent de l’existence du Machu Picchu ! En fait, c’est l’archéologue américain Hiram Bingham qui, guidé par les indications des autochtones, l’a découvert le 24 juillet 1911.

Franchissant ponts et rivières, longeant ruines et ravins, je me prends pour Indiana Jones… Barranca mon guide, et moi arrivons enfin, épuisés mais subjugués par l’harmonie évidente de la cité et de la nature. Nous traversons le quartier des agriculteurs, l’élaboration des circuits de distribution d’eau, taillés en zigzag dans la roche me laisse stupéfait. Un peu plus loin, le quartier des prisons : « lors des fêtes religieuses, des enfants en bas âge et des jeunes filles enfermées au couvent choisies pour être les ‘vierges du soleil’ étaient sacrifiés ici… » m’annonce Barranca.

Au sommet du monde !

Style pyramide maya

Il m’entraîne vers l’Intiwatana, un mot quechua (la langue inca encore parlée de nos jours) dont j’ignore encore la signification poétique. Dans un ultime effort, nous grimpons les nombreuses marches puis… « Le voilà. ‘Le lieu où l’on s’amarre au soleil’ ! » me souffle-t-il.

C’est un observatoire astronomique et le point culminant du Machu Picchu. La vue est exceptionnelle, le genre d’endroit où l’on pourrait se croire au sommet du monde. Même certains nuages qui sont en contre-bas sur la vallée, semblent faire les impressionnés…

« L’Intiwatana est un autel et un calendrier solaire à partir duquel les Incas déterminaient par exemple les dates de début et de fin des campagnes agricoles, les solstices et équinoxes ou réalisaient des calculs en astronomie. Et ils ne perdaient pas le Nord ! » me dit mon guide en riant. « Tu vois la roche taillée à la base ? Ses quatre angles sont exactement orientés aux quatre points cardinaux (Sud, Ouest, Nord, Est) ».

poissons aux reflets d'argentL’envie de conquête des Incas n’est apparue qu’au XIVe siècle avec l’empereur Pacahuetec. Ensuite, les tribus se sont partagées un territoire qui comprenait les rivages du Pacifique, la forêt amazonienne, les Andes, l’Equateur, l’ouest de la Bolivie, le nord-ouest de l’Argentine et la moitié nord du Chili. Autour du souverain, l’élite dirigeante était constituée de hauts fonctionnaires, militaires et religieux, et chefs locaux. Les agriculteurs, artisans, et pêcheurs formaient la classe populaire et devaient travailler au bénéfice de l’Etat.

Ils ne connaissaient pas l’écriture… mais savaient compter

L’empereur imposait un contrôle rigoureux des élevages et produits de la terre. Or, aucun de ses sujets ne savait écrire et la monnaie leur était inconnue… « Ils avaient donc développer un système mnémotechnique particulièrement ingénieux : le quipu. Quipu en quechua, ça signifie ‘nœud » me précise Barranca qui sort de son sac une corde sur laquelle sont nouées d’autres cordelettes colorées. « La couleur représente une classe d’objets. Le quipu permet de compter et de classer. C’est un véritable aide-mémoire ! » finit-il par m’avouer.

Basé sur une numérotation décimale (base 10), l’objet facile à transporter sur de longues distances était surtout utilisé comme registre par les quipucamayocs chargés de recenser la population, l’état des récoltes, etc. La lecture du quipu a été élucidée en 1912 au musée d’histoire naturelle de New York par L.-Leland Locke. Il se fia aux textes de l’ouvrage « Commentaires royaux sur le Pérou des Incas » écrit au XVIe siècle, par Inca Garcilaso de La Vega,fils du Capitaine espagnol Sebastian Garcilaso de la Vega et de la ‘princesse’ inca Chimpu Occllo.

Soleil

Leland Locke comprit que la valeur des nombres correspondant aux nœuds était donnée par leur position le long de chacune des cordelettes pendantes, Ainsi, la rangée inférieure correspond aux unités, la médiane aux dizaines, et la supérieure aux centaines. Un lacet appelé totalisateur enlace chaque groupe de cordelettes, sa valeur correspond à la somme des autres. Enfin, il interprète l’absence de nœud à un niveau comme étant zéro.

Le quipu permettait aussi de composer des épopées, chaque corde représentant un mot clé et la position des nœuds certaines syllabes. Dans ce cas, on dit que les noeuds sont des éléments extra-numéraux du quipu. Il pouvait s’agir d’élément narratifs, comme de choses à comptabiliser, des ressources en armes par exemple. Même la torsion du tissage de la corde aurait une signification : en S, elle représenterait des entités positives, en Z, des négatives !

Caroline Lepage (magazine Cosinus 2005)

DICTIONNAIRE

Mercure Venus Terre Mars

  • Révolution synodique : mouvement circulaire d’une planète qui diffère de la révolution sidérale (la durée d’une année pour cette planète) puisque la révolution synodique est conditionnée par le retour de la planète dans le ciel des observateurs terrestres.

  • Période : sous-entendu sa période de rotation, donc le temps que la planète met pour faire un tour sur elle-même
  • Mois lunaire : intervalle de temps entre deux nouvelles Lunes consécutives.

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